Bài toán thực tế trong đề Toán khó ở một bước duy nhất: chuyển lời văn thành biểu thức toán học, còn phần tính sau đó thường là kiến thức quen thuộc như đạo hàm, hàm mũ, tích phân hay xác suất. Nhiều bạn giỏi tính toán vẫn bỏ trống những câu này vì nhìn đề dài, nhiều chữ, và không biết đặt ẩn ở đâu.
Chương trình Toán 2018 nhấn mạnh vận dụng vào thực tiễn, và đề minh hoạ theo chương trình mới có những câu đặt trong tình huống như vậy. Bài này đưa ra quy trình sáu bước áp dụng cho mọi chủ đề, hai ví dụ giải trọn có số liệu để bạn tự làm rồi so, cách kiểm một đáp số có hợp lý về mặt thực tế không, và cách dùng AI luyện riêng kỹ năng đọc đề.
Vì sao đề dài không có nghĩa là đề khó
Một câu thực tế thường dài gấp ba, bốn lần một câu thuần túy, nhưng phần lớn chữ là để mô tả tình huống. Khi gạt phần mô tả đi, cốt lõi toán học thường chỉ là một hàm số cần tìm giá trị lớn nhất, một phương trình mũ cần giải, hay một tích phân cần tính. Vấn đề là học sinh quen với đề đã cho sẵn hàm số, nên khi phải tự lập hàm thì lúng túng.
Cảm giác lúng túng này còn đến từ áp lực thời gian. Gặp đề dài ở cuối bài thi, bạn đã mệt, đồng hồ còn ít, và việc đọc chậm một đoạn dài có vẻ lãng phí. Vì thế kỹ năng đọc đề thực tế phải được luyện trước, lúc ôn ở nhà, sao cho vào phòng thi bạn có sẵn một quy trình, không phải nghĩ cách bắt đầu.
Tin tốt là kỹ năng này luyện được khá nhanh, vì số kiểu tình huống không nhiều: tối ưu chi phí, diện tích, thể tích; tăng trưởng hoặc suy giảm theo hàm mũ; chuyển động và quãng đường; xác suất trong trò chơi hay sản xuất; vị trí trong không gian. Mỗi kiểu có một vài cách đặt ẩn quen thuộc.
Một gợi ý để bắt đầu: mỗi tuần chọn ba câu thực tế từ đề minh hoạ hoặc đề tham khảo của các Sở, chỉ làm bước đọc và lập biểu thức, chưa cần giải. So cách bạn lập với lời giải tham khảo. Sau vài tuần, bạn sẽ thấy các tình huống lặp lại, và câu dài ở cuối đề không còn gây sợ như trước. Khi đã quen bước lập, phần giải phía sau thường nhanh hơn bạn nghĩ.
Quy trình sáu bước cho mọi bài toán thực tế
Áp dụng cho bất kỳ chủ đề nào. Lúc đầu nên viết đủ cả sáu bước ra giấy nháp; sau vài chục bài, các bước sẽ diễn ra nhanh trong đầu.
- Đọc câu hỏi cuối trước. Biết đề hỏi đại lượng gì, đơn vị gì, làm tròn đến đâu, rồi mới đọc phần mô tả từ đầu. Như vậy khi đọc bạn biết thông tin nào quan trọng.
- Gạch chân số liệu và đơn vị. Ghi bên lề danh sách các đại lượng đã biết, kèm đơn vị. Nếu đơn vị không thống nhất, ví dụ mét và xăng-ti-mét, đổi ngay ở bước này.
- Đặt ẩn và nói rõ ẩn là gì. Viết thành câu: "Gọi x là khoảng cách từ B đến điểm M, đơn vị ki-lô-mét". Chọn ẩn là đại lượng mà khi biết nó, mọi thứ khác tính được.
- Lập biểu thức cho đại lượng cần tìm theo ẩn. Đây là bước khó nhất; vẽ hình nếu có yếu tố hình học, lập bảng nếu có nhiều giai đoạn.
- Tìm miền giá trị của ẩn từ ý nghĩa thực tế: độ dài dương, thời gian không âm, số người là số nguyên, cạnh cắt không vượt quá nửa cạnh tấm bìa.
- Giải bằng kiến thức quen thuộc, rồi đối chiếu đáp số với thực tế và với yêu cầu làm tròn của đề.
Bước một và bước năm là hai bước hay bị bỏ qua nhất, và cũng là nguồn của nhiều lỗi mất điểm oan: ghi đáp số là giá trị của ẩn trong khi đề hỏi giá trị lớn nhất của chi phí, hoặc nhận một nghiệm làm độ dài âm.
Ví dụ giải trọn: chi phí kéo dây điện ra đảo
Ví dụ giả định: một trạm điện A nằm trên bờ biển thẳng. Hòn đảo C cách bờ 1 km, chân đường vuông góc từ C xuống bờ là điểm B, và AB = 4 km. Người ta kéo dây từ A dọc theo bờ đến một điểm M nằm giữa A và B, rồi kéo dây dưới nước thẳng từ M ra C. Chi phí mỗi ki-lô-mét dây trên bờ là 3 đơn vị, dưới nước là 5 đơn vị. Hỏi chi phí nhỏ nhất là bao nhiêu đơn vị?
Đặt ẩn: gọi x là độ dài BM, tính bằng ki-lô-mét, với x nằm trong đoạn từ 0 đến 4. Khi đó đoạn trên bờ AM dài 4 − x, đoạn dưới nước MC là cạnh huyền của tam giác vuông MBC, dài căn của x² + 1. Chi phí là f(x) = 3(4 − x) + 5 căn của x² + 1.
Đạo hàm f'(x) = −3 + 5x chia căn của x² + 1. Cho bằng không: 5x = 3 căn của x² + 1, bình phương hai vế được 25x² = 9x² + 9, nên x² = 9/16 và x = 3/4, chỉ lấy nghiệm dương. So sánh giá trị: f(0) = 12 + 5 = 17; f(3/4) = 3 · 3,25 + 5 · 5/4 = 9,75 + 6,25 = 16; f(4) = 5 căn 17, xấp xỉ 20,6. Chi phí nhỏ nhất là 16 đơn vị, khi điểm M cách B 0,75 km.
Đối chiếu thực tế: kéo thẳng từ B ra đảo tốn 17 đơn vị, kéo chéo một chút tiết kiệm được một đơn vị vì dây dưới nước đắt hơn nhưng đoạn trên bờ ngắn lại. Kết quả hợp lý. Để ý rằng nếu đề hỏi "điểm M cách A bao nhiêu" thì đáp số là 4 − 0,75 = 3,25 km, không phải 0,75. Đó là lý do phải đọc câu hỏi cuối trước tiên.
Ví dụ thứ hai: tăng trưởng theo hàm mũ và các kiểu tình huống khác
Tăng trưởng mũ. Ví dụ giả định: một mẻ nuôi cấy vi khuẩn có 500 cá thể lúc đầu, mỗi giờ tăng 20% so với giờ trước. Sau t giờ số cá thể là N(t) = 500 · 1,2 mũ t. Để vượt 2000 cá thể, cần 1,2 mũ t lớn hơn 4, tức t lớn hơn ln 4 chia ln 1,2, xấp xỉ 7,6. Nếu đề tính theo từng giờ trọn, đáp số là sau 8 giờ. Đọc kỹ đề hỏi thời điểm liên tục hay số giờ nguyên.
Suy giảm mũ. Cùng cấu trúc nhưng hệ số nhỏ hơn một, ví dụ lượng thuốc trong một mẫu thí nghiệm giảm một tỉ lệ cố định mỗi giờ, hay giá trị một thiết bị giảm theo năm. Bẫy hay gặp là lấy 1 − tỉ lệ hay 1 + tỉ lệ nhầm chiều.
Chuyển động. Biết vận tốc theo thời gian, quãng đường là tích phân của vận tốc. Biết quãng đường, vận tốc là đạo hàm. Bẫy là quên rằng vật dừng lại khi vận tốc bằng không, nên cận tích phân phải lấy đến lúc đó.
Tối ưu với bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Một số bài sản xuất hai loại sản phẩm với giới hạn nguyên liệu, giờ máy. Đây là nội dung lớp 10 trong chương trình 2018; lập hệ bất phương trình, vẽ miền nghiệm, và giá trị lớn nhất đạt tại một đỉnh của miền.
Xác suất trong tình huống. Sản phẩm từ nhiều nguồn, kiểm tra chất lượng, trò chơi có nhiều lượt. Bài về xác suất có điều kiện trong cùng danh mục bàn kỹ cách dựng sơ đồ cây cho kiểu này.
Dùng AI để luyện riêng bước đọc đề và đặt ẩn
Cách luyện hiệu quả nhất là tách bước lập biểu thức ra luyện riêng, không cần giải hết bài. AI hợp với kiểu luyện này vì nó có thể tạo nhiều tình huống mới. Một số câu lệnh mẫu:
- "Cho em năm đề bài toán thực tế ngắn về chi phí, thể tích, tăng trưởng. Em chỉ đặt ẩn, lập hàm và nêu miền giá trị, không giải. Sau khi em gửi, hãy nhận xét bước lập hàm."
- "Đây là cách em đặt ẩn cho bài này. Có cách đặt ẩn nào khác làm biểu thức gọn hơn không? Chỉ gợi ý, đừng giải."
- "Viết lại đề này dài hơn, thêm thông tin thừa không cần dùng, để em luyện lọc thông tin."
- "Em ra đáp số này. Hãy hỏi em ba câu để em tự kiểm xem đáp số có hợp lý về mặt thực tế không."
- "Tạo một bài tối ưu có đáp số ở đầu mút của miền chứ không phải ở điểm đạo hàm bằng không, để em luyện bước so sánh."
Đề do AI tạo đôi khi có lỗi: số liệu vô lý, thiếu thông tin, hay hàm không có giá trị lớn nhất trong miền. Khi gặp, đừng bỏ qua; hãy chỉ ra lỗi đó, vì việc nhận ra một đề hỏng cũng là luyện đọc đề. Khi gửi bài làm cho AI, không cần kèm tên, lớp hay thông tin cá nhân.
Kiểm đáp số bằng con mắt thực tế
Bài thực tế có một lợi thế mà bài thuần túy không có: bạn có thể kiểm đáp số bằng cảm nhận về thế giới thật. Chiếc hộp làm từ tấm bìa 12 cm không thể có thể tích một mét khối. Chi phí tối ưu không thể lớn hơn chi phí của một phương án đơn giản bạn tự nghĩ ra. Thời gian để một quần thể tăng gấp bốn không thể ngắn hơn thời gian để nó tăng gấp đôi.
Một thói quen nên có: trước khi ghi đáp số, ước lượng nhanh một phương án đơn giản rồi so. Trong ví dụ kéo dây, phương án kéo thẳng từ B cho 17 đơn vị; đáp số tối ưu 16 nhỏ hơn một chút, hợp lý. Nếu bạn ra 8 hay 25, gần như chắc có lỗi ở bước lập hàm.
Thói quen thứ hai: kiểm đơn vị ở dòng cuối. Đề hỏi mét mà bạn ghi ki-lô-mét, đề hỏi phút mà bạn ghi giờ, là kiểu lỗi không do thiếu kiến thức nhưng mất trọn điểm ở phần trả lời ngắn. Viết đơn vị bên cạnh đáp số trên giấy nháp, rồi đọc lại câu hỏi một lần trước khi tô phiếu.
Câu hỏi thường gặp
Bài toán thực tế thường thuộc những chủ đề nào?
Thường gặp ở ứng dụng đạo hàm với bài tối ưu, hàm mũ và logarit với tăng trưởng hay suy giảm, tích phân với quãng đường và diện tích, xác suất với tình huống sản xuất hay trò chơi, và tọa độ không gian với vị trí. Phạm vi cụ thể tuỳ đề từng năm.
Đặt ẩn thế nào cho dễ?
Chọn đại lượng mà khi biết nó, mọi đại lượng khác đều tính được. Thường đó là một độ dài, một thời điểm hoặc một số lượng. Nếu biểu thức lập ra quá cồng kềnh, thử đặt ẩn ở chỗ khác trước khi bắt đầu tính đạo hàm.
Có nên bỏ qua bài thực tế khi thiếu thời gian không?
Nên quyết định theo vị trí và điểm số của câu trong đề năm bạn thi. Nếu còn ít thời gian, ít nhất hãy đọc câu hỏi cuối và đặt ẩn, vì đôi khi bài thực tế lại dễ hơn vẻ ngoài. Kế hoạch phân bổ thời gian chung có ở danh mục kỹ năng phòng thi.
Làm sao biết đáp số là giá trị của ẩn hay giá trị của hàm?
Đọc câu hỏi cuối thật kỹ trước khi giải và gạch chân đại lượng được hỏi. Đề hỏi chi phí nhỏ nhất thì ghi giá trị hàm; đề hỏi vị trí đặt điểm thì ghi giá trị ẩn, có khi phải đổi sang khoảng cách tính từ điểm khác.
Có cần thuộc công thức lãi suất cho bài thực tế không?
Một số đề dùng tình huống tăng trưởng theo phần trăm, có cấu trúc giống lãi kép. Hiểu cách lập công thức theo từng kỳ là đủ, không cần học thuộc nhiều biến thể. Các ví dụ trên trang chỉ là giả định, không phải lời khuyên tài chính.
AI có giúp luyện bài toán thực tế được không?
Có, đặc biệt ở việc tạo tình huống mới và nhận xét bước lập hàm. Nhưng bạn phải tự đặt ẩn và tự giải; AI chỉ nên kiểm và gợi ý. Đề AI tạo đôi khi vô lý, nên luôn kiểm tính hợp lý trước khi làm.